Analysis Beispiele

$- \frac{5}{x^{3}} \cdot e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ und $\frac{5}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \cdot 5}{x^{3}}]$

Schritt 1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 \cdot e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$

Schritt 1.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ und $g (x) = x^{3}$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

$- 5 \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 4 (2 x))) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 5.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 5.9.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 5.9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5) (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3}) + e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3} + e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3} + 8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + x^{3} (8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{5 (- 12 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + x^{3} (8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{5 (- 12 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.7.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.7.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{5 (- 12 (x^{3} x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5 (- 12 x^{3 + 3} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7.1.3

Addiere $3$ und $3$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 (x \cdot x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 6.2.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 (x^{1} x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{1 + 3} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.7.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$- \frac{- 60 (x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.10

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$- \frac{- 60 (x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 40 (x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.11

Entferne die Klammern.

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6.2.1.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 6.2.2

Stelle die Faktoren in $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}$ um.

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ aus $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ aus $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ heraus.

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ aus $40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ heraus.

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2}) - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ aus $- 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ heraus.

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)}{x^{6}}$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ aus $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2})$ heraus.

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)}{x^{6}}$

Schritt 6.3.5

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ aus $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)$ heraus.

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{x^{6}}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)$ heraus.

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x^{4}$ heraus.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4}) + 8 x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4}) - (- 8 x^{2}) - 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{4}) - (- 8 x^{2})$ heraus.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.8

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 1 (3))}{x^{4}}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 1 (3)$ heraus.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3))}{x^{4}}$

Schritt 6.10

Schreibe $- (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)$ als $- 1 (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)$ um.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 1 (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3))}{x^{4}}$

Schritt 6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.13

Mutltipliziere $\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Schritt 6.14

Stelle die Faktoren in $\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$ um.

$\frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$