Analysis Beispiele

$\sqrt[4]{16 x} \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{16 x} \cos (x)]$ als $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[4]{x} \cos (x)]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{2^{4} x} \cos (x)]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[4]{x} \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{4}} \cos (x)]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{4}} \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}} \cos (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}))$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}))$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}))$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}))$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4})$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{3}{4}}}{4})$

Schritt 13

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x))) + 2 \frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 14.2

Vereine die Terme

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{4}} (\sin (x))) + 2 \frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 \cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 14.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 (\cos (x))}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 14.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 (\cos (x))}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Schritt 14.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 \cos (x)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Schritt 14.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{3}{4}}}$