Analysis Beispiele

$y = x^{x^{2}}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (x^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

Schritt 3.2.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere $x$ mit $x^{x^{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege $x^{x^{2}}$ .

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $x^{x^{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $x$ mit $x^{x^{2}}$ .

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Schritt 5.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

Schritt 5.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$