Analysis Beispiele

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $y + 3$ mit $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $y'$ und $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y + 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Schritt 5.2.1.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Schritt 5.2.1.2.2

Bewege $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Schreibe $- 1 y'$ als $- y'$ um.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $y' {(y + 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe ${(y + 3)}^{2}$ als $(y + 3) (y + 3)$ um.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $(y + 3) (y + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Schritt 5.3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Schritt 5.3.3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Schritt 5.3.3.3.2

Addiere $3 y$ und $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Schritt 5.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Schritt 5.3.3.5.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Schritt 5.3.4

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Schritt 5.3.5

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $y' x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Schritt 5.3.5.2

Subtrahiere $2 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Schritt 5.3.5.3

Subtrahiere $2 y'$ von $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Schritt 5.3.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2}$ heraus.

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Schritt 5.3.6.2

Faktorisiere $y'$ aus $6 y' y$ heraus.

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Schritt 5.3.6.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x$ heraus.

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Schritt 5.3.6.4

Faktorisiere $y'$ aus $7 y'$ heraus.

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Schritt 5.3.6.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ heraus.

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Schritt 5.3.6.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ heraus.

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Schritt 5.3.6.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ heraus.

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Schritt 5.3.7

Teile jeden Ausdruck in $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ durch $y^{2} + 6 y + x + 7$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ durch $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Schritt 5.3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

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Schritt 5.3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Schritt 5.3.7.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Schritt 5.3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$