Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (\frac{x}{2})$ heraus.

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3.2.4

Dividiere $- \sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = - \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$- (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\sin (\frac{x}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$