Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.9

Addiere $\frac{2}{3}$ und $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 7.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 7.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 7.2.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 7.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 7.2.3.14

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$

Schritt 9