Analysis Beispiele

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $a$ gleich $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $b x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $b x$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.3.2

Da $c$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$x^{2} + 0 + 0$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2}$

Schritt 2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$f'' (a) = 0$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{2} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $a$ gleich $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $b x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $b x$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 4.1.3.2

Da $c$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$x^{2} + 0 + 0$

Schritt 4.1.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f' (a) = x^{2}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (a)$ nach $a$ ist $x^{2}$ .

$x^{2}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Kritische Punkte zum auswerten.

$a = 0$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $a = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$0$

Schritt 8

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 9