Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{t^{2}}{5 - 2 t} d t$

Schritt 1

Stelle $5$ und $- 2 t$ um.

$\int_{1}^{3} \frac{t^{2}}{- 2 t + 5} d t$

Schritt 2

Dividiere $t^{2}$ durch $- 2 t + 5$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 t$

$5$

$t^{2}$

$0 t$

$0$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $t^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- 2 t$ .

				-	$\frac{t}{2}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$\frac{t}{2}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				+	$t^{2}$	-	$\frac{5 t}{2}$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $t^{2} - \frac{5 t}{2}$

				-	$\frac{t}{2}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$\frac{t}{2}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$
						+	$\frac{5 t}{2}$

Schritt 2.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				-	$\frac{t}{2}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$
						+	$\frac{5 t}{2}$	+	$0$

Schritt 2.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $\frac{5 t}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- 2 t$ .

				-	$\frac{t}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$
						+	$\frac{5 t}{2}$	+	$0$

Schritt 2.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$\frac{t}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$
						+	$\frac{5 t}{2}$	+	$0$
						+	$\frac{5 t}{2}$	-	$\frac{25}{4}$

Schritt 2.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $\frac{5 t}{2} - \frac{25}{4}$

				-	$\frac{t}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$
						+	$\frac{5 t}{2}$	+	$0$
						-	$\frac{5 t}{2}$	+	$\frac{25}{4}$

Schritt 2.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$\frac{t}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
-	$2 t$	+	$5$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
				-	$t^{2}$	+	$\frac{5 t}{2}$
						+	$\frac{5 t}{2}$	+	$0$
						-	$\frac{5 t}{2}$	+	$\frac{25}{4}$
								+	$\frac{25}{4}$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{1}^{3} - \frac{t}{2} - \frac{5}{4} + \frac{25}{4 (- 2 t + 5)} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} - \frac{t}{2} d t + \int_{1}^{3} - \frac{5}{4} d t + \int_{1}^{3} \frac{25}{4 (- 2 t + 5)} d t$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{3} \frac{t}{2} d t + \int_{1}^{3} - \frac{5}{4} d t + \int_{1}^{3} \frac{25}{4 (- 2 t + 5)} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} t d t) + \int_{1}^{3} - \frac{5}{4} d t + \int_{1}^{3} \frac{25}{4 (- 2 t + 5)} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{5}{4} d t + \int_{1}^{3} \frac{25}{4 (- 2 t + 5)} d t$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{25}{4 (- 2 t + 5)} d t$

Schritt 8

Da $\frac{25}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{25}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} \int_{1}^{3} \frac{1}{- 2 t + 5} d t$

Schritt 9

Sei $u = - 2 t + 5$ . Dann ist $d u = - 2 d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = - 2 t + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $- 2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t + 5]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 t + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 9.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

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Schritt 9.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 9.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 9.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 9.1.4.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 9.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = - 2 t + 5$ ein.

$u_{lower} = - 2 \cdot 1 + 5$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 2 + 5$

Schritt 9.3.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 9.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = - 2 t + 5$ ein.

$u_{upper} = - 2 \cdot 3 + 5$

Schritt 9.5

Vereinfache.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 6 + 5$

Schritt 9.5.2

Addiere $- 6$ und $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 9.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 9.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} \int_{3}^{- 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} \int_{3}^{- 1} \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} \int_{3}^{- 1} - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 10.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} \int_{3}^{- 1} - \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} (- \int_{3}^{- 1} \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} + \frac{25}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{3}^{- 1} \frac{1}{u} d u))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} - \frac{25}{4 \cdot 2} \int_{3}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} - \frac{25}{8} \int_{3}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{3} + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} - \frac{25}{8} \ln (| u |)]_{3}^{- 1}$

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $\frac{1}{2} t^{2}$ bei $3$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + - \frac{5}{4} t]_{1}^{3} - \frac{25}{8} \ln (| u |)]_{3}^{- 1}$

Schritt 15.2

Berechne $- \frac{5}{4} t$ bei $3$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} \ln (| u |)]_{3}^{- 1}$

Schritt 15.3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $- 1$ und $3$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4

Vereinfache.

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Schritt 15.4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1}{2} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.6

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{2} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 15.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.7.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 4 + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 15.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.10.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 + (- \frac{5}{4} \cdot 3) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 - 3 (\frac{5}{4}) + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.12

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5}{4}$ .

$- 2 + \frac{- 3 \cdot 5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 2 + \frac{- 15}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 - \frac{15}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.15

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$- 2 - \frac{15}{4} + \frac{5}{4} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 + \frac{- 15 + 5}{4} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.17

Addiere $- 15$ und $5$ .

$- 2 + \frac{- 10}{4} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4$ .

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Schritt 15.4.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$- 2 + \frac{2 (- 5)}{4} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 2 + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + \frac{- 5}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.20

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.21

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.23.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 - 5}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.23.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$\frac{- 9}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2} - \frac{25}{8} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 3 |))$

Schritt 15.4.25

Um $- \frac{25}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} - \frac{25}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |)) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 15.4.26

Kombiniere $- \frac{25}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} + \frac{- \frac{25}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 2}{2}$

Schritt 15.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 - \frac{25}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 2}{2}$

Schritt 15.4.28

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 9 - 2 (\frac{25}{8}) (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.29

Kombiniere $- 2$ und $\frac{25}{8}$ .

$\frac{- 9 + \frac{- 2 \cdot 25}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.30

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$\frac{- 9 + \frac{- 50}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.31

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $8$ .

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Schritt 15.4.31.1

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$\frac{- 9 + \frac{2 (- 25)}{8} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.31.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.31.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{- 9 + \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.31.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 + \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.31.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9 + \frac{- 25}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 15.4.32

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 9 - \frac{25}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| 3 |))}{2}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{- 9 - \frac{25}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{2}$

Schritt 16.2

Kombiniere $\ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})$ und $\frac{25}{4}$ .

$\frac{- 9 - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |}) \cdot 25}{4}}{2}$

Schritt 16.3

Bringe $25$ auf die linke Seite von $\ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})$ .

$\frac{- 9 - \frac{25 \cdot \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4}}{2}$

Schritt 16.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{- 1 (9) - \frac{25 \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4}}{2}$

Schritt 16.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{25 \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4}$ heraus.

$\frac{- 1 (9) - (\frac{25 \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4})}{2}$

Schritt 16.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (9) - (\frac{25 \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4})$ heraus.

$\frac{- 1 (9 + \frac{25 \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4})}{2}$

Schritt 16.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 + \frac{25 \ln (\frac{| - 1 |}{| 3 |})}{4}}{2}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$- \frac{9 + \frac{25 \ln (\frac{1}{| 3 |})}{4}}{2}$

Schritt 17.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$- \frac{9 + \frac{25 \ln (\frac{1}{3})}{4}}{2}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.3.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{9 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25 \ln (\frac{1}{3})}{4}}{2}$

Schritt 17.3.2

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{\frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{25 \ln (\frac{1}{3})}{4}}{2}$

Schritt 17.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{9 \cdot 4 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{4}}{2}$

Schritt 17.3.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$- \frac{\frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{4}}{2}$

Schritt 17.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 17.5

Multipliziere $\frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 17.5.1

Mutltipliziere $\frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{4 \cdot 2}$

Schritt 17.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{8}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{36 + 25 \ln (\frac{1}{3})}{8}$

Dezimalform:

$- 1.06683659 \dots$

Schritt 19