Analysis Beispiele

$y = (x^{5} + 3) \cdot 4 x^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{5} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot (x^{5} + 3) x^{3}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x^{5} + 3) x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5} + 3$ und $g (x) = x^{3}$ .

$4 ((x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 ((x^{5} + 3) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{5} + 3$ .

$4 (3 \cdot (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]))$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + 0))$

Schritt 3.6

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4}))$

Schritt 4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{4}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4} x^{3} \cdot 5)$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4 + 3} \cdot 5)$

Schritt 4.3

Addiere $4$ und $3$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{7} \cdot 5)$

Schritt 5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{7}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + 5 \cdot x^{7})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 ((3 x^{5} + 3 \cdot 3) x^{2} + 5 x^{7})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x^{5} x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 5 x^{7})$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x^{5} x^{2}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 (3 (x^{2} x^{5})) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (3 x^{2 + 5}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4.1.3

Addiere $2$ und $5$ .

$4 (3 x^{7}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{7} + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x^{7} + 4 (9 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 4 (5 x^{7})$

Schritt 6.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 20 x^{7}$

Schritt 6.4.6

Addiere $12 x^{7}$ und $20 x^{7}$ .

$32 x^{7} + 36 x^{2}$