Analysis Beispiele

$y = (2 x + 3) \sqrt{x^{2} + 3 x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 3 x}$ als ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(2 x + 3) {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x + 3$ und $g (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{{(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \cdot 1) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 14

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 15

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 17.1

Addiere $1$ und $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 17.2

Kombiniere ${(2 x + 3)}^{2}$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 18

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 19

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 21

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 22

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Schritt 23

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 23.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Schritt 23.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 24

Um $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Kombiniere $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28

Multipliziere ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 28.1

Bewege ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 ({(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 29

Vereinfache $4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 (x^{2} + 3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30

Vereinfache.

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Schritt 30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 30.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 30.2.1.1

Schreibe ${(2 x + 3)}^{2}$ als $(2 x + 3) (2 x + 3)$ um.

$\frac{(2 x + 3) (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.2

Multipliziere $(2 x + 3) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 30.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 30.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 30.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 30.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 30.2.3

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 9}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$