Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $1 - y^{2}$ mit $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 1.2.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$