Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 3 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sec (t)$ an.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \tan^{2} (t)$ als ${(3 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \tan (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3 \tan (t)$ aus ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3 \tan (t)$ aus $3 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $3 \sec (t)$ an.

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (t)$ und $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $9 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Schritt 6

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Schritt 7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Schritt 9

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Schritt 10

Das Integral von $\cos (t)$ nach $t$ ist $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$