Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\frac{2 x}{x + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{2 x}{x + 1}}$ als ${(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Schritt 7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 7.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere ${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

${(\frac{x + 1}{2 x})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 1}{2 x}$ an.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 10.4

Vereine die Terme

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 10.4.2

Bringe ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.3

Multipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.3.1

Bewege ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2})}$

Schritt 10.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Schritt 10.4.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 10.4.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 10.4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 10.4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Schritt 10.4.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$