Analysis Beispiele

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $i$ aus $i - i^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $i$ aus $i^{1}$ heraus.

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $i$ aus $- i^{2}$ heraus.

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $i$ aus $i \cdot 1 + i (- i)$ heraus.

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Schritt 3.1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Schritt 3.2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Schritt 3.3

Berechne $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\frac{1}{3}$ aus der Summe raus.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Schritt 3.3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Schritt 3.3.4.1.3

Dividiere $110$ durch $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Schritt 3.3.4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $55$ .

$\frac{55}{3}$

Schritt 3.4

Berechne $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $- \frac{1}{3}$ aus der Summe raus.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Schritt 3.4.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.4.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Schritt 3.4.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 3.4.4.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.4.1.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 3.4.4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Schritt 3.4.4.1.3

Addiere $20$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.2.1

Mutltipliziere $110$ mit $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $2310$ heraus.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Schritt 3.4.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Schritt 3.4.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Schritt 3.4.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $770$ und $6$ .

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Schritt 3.4.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $770$ heraus.

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Schritt 3.4.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Schritt 3.4.4.2.4

Schreibe $- 1 (\frac{385}{3})$ als $- (\frac{385}{3})$ um.

$- \frac{385}{3}$

Schritt 3.5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{55 - 385}{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $385$ von $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Schritt 3.6.2.2

Dividiere $- 330$ durch $3$ .

$- 110$

Schritt 4

Berechne $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Schritt 4.1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Schritt 4.2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Schritt 4.3.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Schritt 4.3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Schritt 4.3.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Schritt 4.3.7

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Schritt 4.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{3}$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $- 110$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 6.2

Kombiniere $- 110$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 110$ mit $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Schritt 6.4.2

Addiere $- 330$ und $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{322}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{322}{3}$

Dezimalform:

$- 107.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 107 \frac{1}{3}$