Analysis Beispiele

$y = \arcsin (2 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arcsin (2 x + 1))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \arcsin (y)$ und $g (y) = 2 x + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + 0)$

Schritt 3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.1

Addiere $2 x'$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x')$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} x'$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ und $x'$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$ um.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x' = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Mutltipliziere $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ mit $1$ .

$2 x' = \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 x' = \sqrt{1^{2} - {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 2 x + 1$ .

$2 x' = \sqrt{(1 + 2 x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x' = \sqrt{(2 x + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Schritt 5.3.2.1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2 (1)) (1 - (2 x + 1))}$

Schritt 5.3.2.1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x) - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.3.2.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.3.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.3.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (- 2 x + 0)}$

Schritt 5.3.2.1.3.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) \cdot - 2 x}$

Schritt 5.3.2.1.3.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x' = \sqrt{- 4 (x + 1) x}$

Schritt 5.3.2.1.4

Schreibe $- 4 (x + 1) x$ als $2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)$ um.

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$2 x' = \sqrt{4 (- 1) (x + 1) x}$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1) x}$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1^{2}) x}$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Füge Klammern hinzu.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 ((x + 1^{2}) x)}$

Schritt 5.3.2.1.4.5

Füge Klammern hinzu.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)}$

Schritt 5.3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1^{2}) x}$

Schritt 5.3.2.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1.6.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$

Schritt 5.3.2.1.6.2

Stelle die Faktoren in $2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$ um.

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ durch $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Schritt 5.4.3.1.2

Dividiere $\sqrt{- x (x + 1)}$ durch $1$ .

$x' = \sqrt{- x (x + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \sqrt{- x (x + 1)}$