Analysis Beispiele

$y = {(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(2 \frac{1}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{3}}]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Schritt 3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Schritt 3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}}$ an.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}]$

Schritt 3.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{2 \cdot 3}}}]$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{6}}}]$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d}{d y} [1 \frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x^{6}$ und $g (y) = {(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{6}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} \frac{d}{d y} [x] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.10

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = 2 + 3 x^{2}$ .

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Schritt 3.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.11.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12

Differenziere.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 3 x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12.5

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (3 \frac{d}{d y} [x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.12.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} (3 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.12.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.13.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 u_{3} \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.13.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.14.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} (2 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 (x^{1} x^{6}) ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{1 + 6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.17

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.18

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19

Vereinfache.

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Schritt 3.19.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.19.1.1

Faktorisiere $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ aus $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ heraus.

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Schritt 3.19.1.1.1

Faktorisiere $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ aus $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x'$ heraus.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.1.1.2

Faktorisiere $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ aus $- 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ heraus.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.1.1.3

Faktorisiere $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ aus $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2} - 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.1.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 0)}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.1.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' \cdot 2}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ und ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

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Schritt 3.19.2.1

Faktorisiere ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ aus $12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ heraus.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.19.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.19.2.2.1

Faktorisiere ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ aus ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ heraus.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.19.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.19.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.19.3

Stelle die Terme um.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$ um.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$12 x^{5} x' = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ mit $1$ .

$12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ durch $12 x^{5}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ durch $12 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$