Analysis Beispiele

$\sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - y^{2}}$ als ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 1 - y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Schritt 1.9

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Schritt 1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y))$

Schritt 1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 y)$

Schritt 1.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y$

Schritt 1.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{- 2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (y) = - \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = - 1$ und $g (y) = \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 1 - y^{2}$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - y^{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - y^{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.13

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.16

Multipliziere.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.18.1

Kombiniere $2$ und $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.18.2

Kombiniere $\frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.19

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.20

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y^{1})}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{1 + 1}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.22

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.23

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.24

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.25

Um ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.27

Multipliziere ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.27.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.27.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.27.3

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.27.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{1} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.28

Vereinfache ${(1 - y^{2})}^{1}$ .

$- \frac{\frac{1 - y^{2} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.29

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2}$ .

$- \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.30

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.31

Schreibe $\frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - y^{2}}) + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.32

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{1 - y^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2})} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.33

Multipliziere ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.33.1

Mutltipliziere ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - y^{2}$ .

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Schritt 2.33.1.1

Potenziere $1 - y^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.33.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.33.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.33.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.33.4

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.34

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.35

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.35.1

Mutltipliziere $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $0$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 2.35.2

Addiere $- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (y) = - \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$