Analysis Beispiele

$\cos (x + y) + y = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y) + y) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x + y) + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x + y) (1 + y') + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x + y) (1 + y') + y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (x + y) (1 + y') + y' = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \sin (x + y) (1 + y') + y'$ .

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + y' = 1$

Schritt 5.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + y' = 1$

Schritt 5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + y'$ um.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + y' = 1$

Schritt 5.2

Addiere $\sin (x + y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (x + y) + y' = 1 + \sin (x + y)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (x + y) + y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (x + y)$ heraus.

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' = 1 + \sin (x + y)$

Schritt 5.3.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' = 1 + \sin (x + y)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' \cdot 1 = 1 + \sin (x + y)$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 1 \sin (x + y) + 1) = 1 + \sin (x + y)$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1 \sin (x + y)$ als $- \sin (x + y)$ um.

$y' (- \sin (x + y) + 1) = 1 + \sin (x + y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (x + y) + 1) = 1 + \sin (x + y)$ durch $- \sin (x + y) + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (x + y) + 1) = 1 + \sin (x + y)$ durch $- \sin (x + y) + 1$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) + 1)}{- \sin (x + y) + 1} = \frac{1}{- \sin (x + y) + 1} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) + 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sin (x + y) + 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- \sin (x + y) + 1)}{- \sin (x + y) + 1} = \frac{1}{- \sin (x + y) + 1} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) + 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- \sin (x + y) + 1} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) + 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 + \sin (x + y)}{- \sin (x + y) + 1}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x + y)$ heraus.

$y' = \frac{1 + \sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) + 1}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{1 + \sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x + y)) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{1 + \sin (x + y)}{- (\sin (x + y) - 1)}$

Schritt 5.5.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.5.1

Schreibe $- (\sin (x + y) - 1)$ als $- 1 (\sin (x + y) - 1)$ um.

$y' = \frac{1 + \sin (x + y)}{- 1 (\sin (x + y) - 1)}$

Schritt 5.5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 + \sin (x + y)}{\sin (x + y) - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + \sin (x + y)}{\sin (x + y) - 1}$