Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 e^{x^{4} + \frac{2}{9}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x^{4} + \frac{2}{9}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2}{9}}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$2 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} + lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{9}}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 e^{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} + lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{9}}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{2}{9}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$2 e^{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} + \frac{2}{9}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$2 e^{{(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{2}{9}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$2 e^{\frac{1^{4}}{2^{4}} + \frac{2}{9}}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 e^{\frac{1}{2^{4}} + \frac{2}{9}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$2 e^{\frac{1}{16} + \frac{2}{9}}$

Schritt 3.2

Um $\frac{1}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$2 e^{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2}{9}}$

Schritt 3.3

Um $\frac{2}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$2 e^{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $144$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$2 e^{\frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $9$ .

$2 e^{\frac{9}{144} + \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$2 e^{\frac{9}{144} + \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$2 e^{\frac{9}{144} + \frac{2 \cdot 16}{144}}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 e^{\frac{9 + 2 \cdot 16}{144}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$2 e^{\frac{9 + 32}{144}}$

Schritt 3.6.2

Addiere $9$ und $32$ .

$2 e^{\frac{41}{144}}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 e^{\frac{41}{144}}$

Dezimalform:

$2.65878540 \dots$