Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 x + 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 1}$ als ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 2 x + 1$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 4.8

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 4.9

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 4.10

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x' + 0)$

Schritt 4.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.11.1

Addiere $2 x'$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x')$

Schritt 4.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} x'$

Schritt 4.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x'$ .

$\frac{2 x'}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x'}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ um.

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = 1 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$x' = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$