Analysis Beispiele

$\frac{- t e^{- t} + e^{- t}}{e^{t}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = - t e^{- t} + e^{- t}$ und $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{t})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- t e^{- t} + e^{- t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t e^{- t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \cdot - 1) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - 1 \cdot e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t})) - e^{- t} - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- t e^{- t}) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.2

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{- t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.2.1

Bewege $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.2.3

Addiere $- t$ und $t$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.3

Vereinfache $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.5

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t - e^{t} e^{- t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.7

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{- t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.7.1

Bewege $e^{- t}$ .

$\frac{t - (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t - e^{- t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.7.3

Addiere $- t$ und $t$ .

$\frac{t - e^{0} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.8

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t - 1 - e^{t} e^{- t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.10

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{- t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.10.1

Bewege $e^{- t}$ .

$\frac{t - 1 - (e^{- t} e^{t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t - 1 - e^{- t + t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.10.3

Addiere $- t$ und $t$ .

$\frac{t - 1 - e^{0} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.11

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.12

Multipliziere $e^{- t}$ mit $e^{t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.12.1

Bewege $e^{t}$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t (e^{t} e^{- t})) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{t - t}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.12.3

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{0}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.13

Vereinfache $- (- t e^{0})$ .

$\frac{t - 1 - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.14

Multipliziere $- - t$ .

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Schritt 9.5.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t - 1 - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.14.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.15

Multipliziere $e^{- t}$ mit $e^{t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.15.1

Bewege $e^{t}$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.15.3

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.1.16

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.2

Addiere $t$ und $t$ .

$\frac{2 t - 1 - 1 - 1}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

Schritt 9.5.4

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$