Analysis Beispiele

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Schritt 1

Multipliziere $x^{2} {(x + 1)}^{3}$ aus.

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Schritt 1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d x$

Schritt 1.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3}) d x$

Schritt 1.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2}) d x$

Schritt 1.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 x^{2} \cdot 1) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.8

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 \cdot 1 x^{2}) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.9

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 \cdot 1) x^{2} + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.10

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.11

Bewege $x$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1 \cdot 1 x) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.12

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1 \cdot 1) x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.13

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1) \cdot 1 x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.14

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Schritt 1.15

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) \cdot 1 d x$

Schritt 1.16

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 + 3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.18

Addiere $2$ und $3$ .

$\int x^{5} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.19

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{5} + 3 x^{2 + 2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.21

Addiere $2$ und $2$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.22

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.23

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.24

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.26

Addiere $2$ und $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.27

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Schritt 1.28

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Schritt 1.29

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{5} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{3}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$