Analysis Beispiele

$\frac{e^{x} - 1}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x} - 1$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (e^{x} + 0) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1)}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x e^{x} - e^{x} - - 1}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} + 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$ um.

$\frac{x e^{x} + 1 - e^{x}}{x^{2}}$