Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{2} (θ)$ in $- 1 + \sec^{2} (θ)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (θ)$ gleich $\sec^{2} (θ)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (θ)$ gleich $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ und $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- θ + \tan (θ)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Schritt 5.3.3

Addiere $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ und $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Schritt 6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{2})$ ist $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Schritt 6.1

Teile $\frac{π}{2}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Schritt 6.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Schritt 6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.1.1

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.7.1.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.7.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.7.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Schritt 6.7.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Schritt 6.7.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Schritt 6.7.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.7.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Schritt 6.7.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Schritt 6.7.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Schritt 6.7.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Schritt 6.7.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Schritt 6.7.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Schritt 6.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Schritt 6.7.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Schritt 6.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Schritt 6.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Schritt 7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert