Analysis Beispiele

$r = \tan (θ) \sec (θ)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\tan (θ) \sec (θ))$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $θ$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \tan (θ)$ und $g (θ) = \sec (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sec (θ)$ nach $θ$ ist $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.3

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.4

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.7

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \sec^{2} (θ)$

Schritt 3.8

Multipliziere $\sec (θ)$ mit $\sec^{2} (θ)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $\sec (θ)$ mit $\sec^{2} (θ)$ .

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)$

Schritt 3.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 2}$

Schritt 3.8.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$