Analysis Beispiele

$y = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 1]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 + 6 \sqrt{x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} \geq 0$

Schritt 1.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.1.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq 0$

Schritt 1.1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.1.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.1.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.1.2.8

Kombiniere $6$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 2.1.1.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$0 + \frac{18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 2.1.1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 2.1.1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 2.1.1.2.11.4

Dividiere $9 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$0 + 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Addiere $0$ und $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[0, 1]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 1]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$9 \sqrt{x^{1}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$9 \sqrt{x}$

Schritt 2.2.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[0, 1]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[0, 1]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[0, 1]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[0, 1]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 4.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 4.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.2.8

Kombiniere $6$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 4.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$0 + \frac{18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.2.10

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 4.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 4.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 4.2.11.4

Dividiere $9 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$0 + 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(9 x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Schritt 6

Berechne das Integral.

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Schritt 6.1

Sei $u = 1 + 81 x$ . Dann ist $d u = 81 d x$ , folglich $\frac{1}{81} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = 1 + 81 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $1 + 81 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 81 x]$

Schritt 6.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 81 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [81 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [81 x]$

Schritt 6.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [81 x]$

Schritt 6.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [81 x]$ .

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Schritt 6.1.1.3.1

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81 x$ nach $x$ gleich $81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 81 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 81 \cdot 1$

Schritt 6.1.1.3.3

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$0 + 81$

Schritt 6.1.1.4

Addiere $0$ und $81$ .

$81$

Schritt 6.1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 81 x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 81 \cdot 0$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $81$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 6.1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 81 x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 81 \cdot 1$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 81$

Schritt 6.1.5.2

Addiere $1$ und $81$ .

$u_{upper} = 82$

Schritt 6.1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 82$

Schritt 6.1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{82} \sqrt{u} \frac{1}{81} d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{81}$ .

$\int_{1}^{82} \frac{\sqrt{u}}{81} d u$

Schritt 6.3

Da $\frac{1}{81}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{81}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{81} \int_{1}^{82} \sqrt{u} d u$

Schritt 6.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{81} \int_{1}^{82} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{81} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{82}$

Schritt 6.6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $82$ und $1$ .

$\frac{1}{81} ((\frac{2}{3} \cdot 82^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $82^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{81} (\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.6.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{81} (\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{81} (\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{81} \cdot \frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{81} (- \frac{2}{3})$

Schritt 6.7.2

Kombinieren.

$\frac{1 (2 \cdot 82^{\frac{3}{2}})}{81 \cdot 3} + \frac{1}{81} (- \frac{2}{3})$

Schritt 6.7.3

Multipliziere $\frac{1}{81} (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 6.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{81}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 82^{\frac{3}{2}})}{81 \cdot 3} - \frac{2}{81 \cdot 3}$

Schritt 6.7.3.2

Mutltipliziere $81$ mit $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 82^{\frac{3}{2}})}{81 \cdot 3} - \frac{2}{243}$

Schritt 6.7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{81 \cdot 3} - \frac{2}{243}$

Schritt 6.7.4.2

Mutltipliziere $81$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{243} - \frac{2}{243}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{243} - \frac{2}{243}$

Dezimalform:

$6.10322289 \dots$

Schritt 8