Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.8.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4}$

Schritt 2.12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Schritt 2.12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}$