Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{6}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{6}} d x$

Schritt 3

Sei $u = \frac{x}{5} + 1$ . Dann ist $d u = \frac{1}{5} d x$ , folglich $5 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{x}{5} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{x}{5} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5} + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{5} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $\frac{1}{5}$ und $0$ .

$\frac{1}{5}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{6}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{5}$ zu dividieren.

$\int \frac{1}{u^{6}} (1 \cdot 5) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} \cdot 5 d u$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{u^{6}}$ und $5$ .

$\int \frac{5}{u^{6}} d u$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{u^{6}} d u$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $u^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 \int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int u^{6 \cdot - 1} d u$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$5 \int u^{- 6} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 6}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $u^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{u^{- 5}}{5} + C)$

Schritt 8.1.2

Bringe $u^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 u^{5}} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$5 (- \frac{1}{5 u^{5}}) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5 u^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 u^{5}} + C$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 u^{5}} + C$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u^{5}$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (u^{5})} + C$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 u^{5}} + C$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{u^{5}} + C$

Schritt 8.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{u^{5}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{5} + 1$ .

$- \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{5}} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{{(\frac{1}{5} x + 1)}^{5}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{6}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{{(\frac{1}{5} x + 1)}^{5}} + C$