Analysis Beispiele

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4

Multipliziere $(y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (y^{4} + 2 y^{2}) y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{4} y^{- \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{4 - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.5

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int y^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\int y^{\frac{8 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.9

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.10

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.12.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{3}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 4.13

Stelle $y^{\frac{7}{2}}$ und $2 y^{\frac{3}{2}}$ um.

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{7}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{7}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $y^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 9.2

Schreibe $- 1 y^{- \frac{1}{2}}$ als $- y^{- \frac{1}{2}}$ um.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 12.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 12.2.2

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$