Analysis Beispiele

$\cos (3 y) + \sin (2 x) = 2 x + 3 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (3 y) + \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (3 y) + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 y$ .

$- \sin (3 y) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (3 y) (3 y') + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 + 3 y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$3 y' + 2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x) = 3 y' + 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 3 y' + 2$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \sin (3 y) y' = 3 y' + 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \sin (3 y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- 3 \sin (3 y) y' - 3 y'$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$- 3 (- 4 \sin^{3} (y) + 3 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 3 (- 4 \sin^{3} (y)) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 9 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4.1.2

Stelle die Faktoren in $12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y'$ um.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache $2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Schritt 5.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 + 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.5.1.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 0 + 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.5.1.2.2

Addiere $0$ und $4 \sin^{2} (x)$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $12 y' \sin^{3} (y)$ heraus.

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 9 y' \sin (y)$ heraus.

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.1.4

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y))$ heraus.

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.1.5

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1$ heraus.

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ durch $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ durch $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ .

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Schritt 5.6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Schritt 5.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1$ .

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Schritt 5.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Schritt 5.6.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$