Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.6.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Schritt 2.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Schritt 2.1.3.6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)}$

Schritt 2.3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 5.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Schritt 5.2.5

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$