Analysis Beispiele

$\sum_{i = 6}^{14} 9 i^{2}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 6}^{14} 9 i^{2} = \sum_{k = 1}^{14} 9 i^{2} - \sum_{k = 1}^{5} 9 i^{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{14} 9 i^{2}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus der Summe raus.

$9 \sum_{k = 1}^{14} i^{2}$

Schritt 2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(9) (\frac{14 (14 + 1) (2 \cdot 14 + 1)}{6})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Addiere $14$ und $1$ .

$9 \frac{14 \cdot 15 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

Schritt 2.4.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $14$ mit $15$ .

$9 \frac{210 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$9 \frac{210 (28 + 1)}{6}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $28$ und $1$ .

$9 \frac{210 \cdot 29}{6}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $210$ mit $29$ .

$9 (\frac{6090}{6})$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 (3) \frac{6090}{6}$

Schritt 2.4.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \cdot 3 \frac{6090}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 3 \frac{6090}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{6090}{2})$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{6090}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 6090}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $6090$ .

$\frac{18270}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2

Dividiere $18270$ durch $2$ .

$9135$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{5} 9 i^{2}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$9 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 3^{2} + \dots + 9 \cdot 5^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die ausmultiplzierte Form.

$495$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$9135 - 495$

Schritt 5

Subtrahiere $495$ von $9135$ .

$8640$