Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.5

Ziehe den Term $19$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.8

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.9

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.11.1.1

Mutltipliziere $19$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.5

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9 + 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.6

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.2.11.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 19 x}$ als ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 + 19 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 19 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.5

Da $19$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $19 x$ nach $x$ gleich $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $19$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.13

Addiere $0$ und $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.15

Kombiniere $\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.16

Bringe $19$ auf die linke Seite von ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 \cdot {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $19$ mit ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.3.18

Bringe ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 15 x}$ als ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 + 15 x$ .

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Schritt 3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 15 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.6

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.13

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.14

Addiere $0$ und $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.16

Kombiniere $\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.17

Bringe $15$ auf die linke Seite von ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 \cdot {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.18

Mutltipliziere $15$ mit ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.4.19

Bringe ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Schritt 4

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{9 + 19 x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Schritt 4.2

Schreibe ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{9 + 15 x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}}{3}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 7

Ziehe den Term $\frac{19}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 13

Ziehe den Term $19$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 14

Ziehe den Term $\frac{15}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 15

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 16

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Schritt 17

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}})$

Schritt 18

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Schritt 19

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Schritt 20

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Schritt 21

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 21.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Schritt 21.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 22.1.1.1

Mutltipliziere $19$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22.1.1.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22.1.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22.1.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22.1.2

Multipliziere $\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 22.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{19}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2 \cdot 3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Schritt 22.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 22.1.3.1

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}})$

Schritt 22.1.3.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}})$

Schritt 22.1.3.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}})$

Schritt 22.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 22.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 22.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{2}$ in den Zähler.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 22.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 (- 5)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 22.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 22.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 5}{2})$

Schritt 22.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2})$

Schritt 22.2

Um $- \frac{5}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 22.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 22.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Schritt 22.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{6})$

Schritt 22.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 5 \cdot 3}{6}$

Schritt 22.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 22.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 15}{6}$

Schritt 22.5.2

Subtrahiere $15$ von $19$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6}$

Schritt 22.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 22.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (2)}{6}$

Schritt 22.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 22.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 22.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 22.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 22.7

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Schritt 22.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3}$

Schritt 22.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9}$