Analysis Beispiele

$y = x + \sqrt{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$