Analysis Beispiele

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ist ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, mit ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ und ${\displaystyle g\left(x\right)=xy}$.

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ gleich ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ ist mit ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ und ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Schreibe ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ als ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ um.

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ gleich ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ ist mit ${\displaystyle n=1}$.

Um ${\displaystyle -1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kombiniere ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Vereinfache den Zähler.

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Mutltipliziere ${\displaystyle y}$ mit ${\displaystyle 1}$.

Kombiniere ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ und ${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Bringe ${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Wende die Produktregel auf ${\displaystyle xy}$ an.

Wende das Distributivgesetz an.

Vereine die Terme

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

Da ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1}$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil ${\displaystyle 2,2,1,1}$ und anschließend für den variablen Teil ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$.

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

Da ${\displaystyle 2}$ keine Teiler außer ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 2}$ hat.

Die Zahl ${\displaystyle 1}$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Das kgV von ${\displaystyle 2,2,1,1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

Das kgV von ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

Das kgV von ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1}$ ist der numerische Teil ${\displaystyle 2}$ multipliziert mit dem variablen Teil.

Multipliziere jeden Term in ${\displaystyle \frac{y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}}}+\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}-y\mathrm{<mo>\prime </mo>}=0}$ mit ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}$.

Vereinfache die linke Seite.

Vereinfache die rechte Seite.