Analysis Beispiele

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- x} + x e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Differenziere.

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Schritt 3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Schritt 3.7.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.7.5.1

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Schritt 3.7.5.2

Addiere $- e^{- x}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}) + 0)$

Schritt 3.7.5.3

Addiere $x (- e^{- x})$ und $0$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}))$

Schritt 3.7.5.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ .

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x})$

Schritt 3.7.5.5

Kombiniere $\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}}$ und $e^{- x}$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} + x e^{- x}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} + x e^{- x}$ heraus.

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Schritt 3.8.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}}$

Schritt 3.8.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $x e^{- x}$ heraus.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x}$

Schritt 3.8.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ heraus.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

Schritt 3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x}{1 + x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$