Analysis Beispiele

$y \cos (3 x - y) = 6 x y - 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y \cos (3 x - y)) = \frac{d}{d x} (6 x y - 2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \cos (3 x - y)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (3 x - y)] + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x - y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x - y]) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x - y]) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - y$ .

$y (- \sin (3 x - y) \frac{d}{d x} [3 x - y]) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y (- \sin (3 x - y) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 - \frac{d}{d x} [y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (- \sin (3 x - y) (3 - y')) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (- \sin (3 x - y) (3 - y')) + \cos (3 x - y) y'$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$- y \sin (3 x - y) (3 - y') + \cos (3 x - y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x y - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (x y' + y) + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x y') + 6 y + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6 x y' + 6 y$ und $0$ .

$6 x y' + 6 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y \sin (3 x - y) (3 - y') + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- y \sin (3 x - y) (3 - y') + \cos (3 x - y) y'$ .

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y \sin (3 x - y) \cdot 3 - y \sin (3 x - y) (- y') + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

Schritt 5.1.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) - y \sin (3 x - y) (- y') + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

Schritt 5.1.1.1.3

Multipliziere $- y \sin (3 x - y) (- y')$ .

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Schritt 5.1.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) + 1 y \sin (3 x - y) y' + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

Schritt 5.1.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) + y \sin (3 x - y) y' + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

Schritt 5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $- 3 y \sin (3 x - y) + y \sin (3 x - y) y' + \cos (3 x - y) y'$ um.

$- 3 y \sin (3 x - y) + y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) = 6 x y' + 6 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y \sin (3 x - y) + y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) - 6 x y' = 6 y$

Schritt 5.3

Addiere $3 y \sin (3 x - y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) - 6 x y' = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) - 6 x y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y y' \sin (3 x - y)$ heraus.

$y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y)) - 6 x y' = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (3 x - y)$ heraus.

$y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y)) - 6 x y' = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 x y'$ heraus.

$y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y)) + y' (- 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y))$ heraus.

$y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y)) + y' (- 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y)) + y' (- 6 x)$ heraus.

$y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$ durch $y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$ durch $y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x$ .

$\frac{y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x} = \frac{6 y}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x} + \frac{3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 y}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x} + \frac{3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 y + 3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $3 y$ aus $6 y + 3 y \sin (3 x - y)$ heraus.

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Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $3 y$ aus $6 y$ heraus.

$y' = \frac{3 y (2) + 3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

Schritt 5.5.3.2.2

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y \sin (3 x - y)$ heraus.

$y' = \frac{3 y (2) + 3 y (\sin (3 x - y))}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

Schritt 5.5.3.2.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (2) + 3 y (\sin (3 x - y))$ heraus.

$y' = \frac{3 y (2 + \sin (3 x - y))}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y (2 + \sin (3 x - y))}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$