Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} 9 e^{- 9 x} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 9 e^{- 9 x} d x$

Schritt 2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{t} e^{- 9 x} d x$

Schritt 3

Sei $u = - 9 x$ . Dann ist $d u = - 9 d x$ , folglich $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 9 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Schritt 3.1.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 9 x$ ein.

$u_{lower} = - 9 \cdot 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 9 x$ ein.

$u_{upper} = - 9 t$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 9 t$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} \frac{1}{- 9} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} (- \frac{1}{9}) d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{9}$ .

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} - \frac{e^{u}}{9} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 9 (- \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$lim_{t \to \infty} - 9 \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} - 9 (\frac{1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 9}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 9 t})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 9 t$ und $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 9 t}) - e^{0})$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1)$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - 1$

Schritt 11.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 11.2

Da der Exponent $- 9 t$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 9 t}$ $0$ an.

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (0 - 1)$

Schritt 11.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- - 1$

Schritt 11.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$