Analysis Beispiele

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\tan^{6} (t)$ als ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $\tan (t)$ aus $\tan^{3} (t)$ heraus.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $\tan (t)$ aus $\sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ und $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\sec (x)$ als $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ um.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.2

Kombinieren.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\csc (t)$ mit $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cot (t)}$ an.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $\cot (t)$ und $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $\cot (t)$ aus ${\cot (t)}^{2}$ heraus.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \csc (t)$ gleich $\csc (t) \cot (t)$ ist, ist das Integral von $\csc (t) \cot (t)$ gleich $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

Schritt 6

Berechne $- \csc (t)$ bei $1.44546849$ und $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

Schritt 7

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{3})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$0.14679527 \dots$

Schritt 10