Analysis Beispiele

$f (x) = 16 \ln (x^{2}) - x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$16 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$16 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $16$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{16 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\frac{32}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{32}{x} - (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{32}{x} - 2 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 2 x + \frac{32}{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x + \frac{32}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 2 + 32 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 (- x^{- 2})$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 x^{- 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{- 32}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 2 - \frac{32}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{32}{x^{2}} - 2$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 x + \frac{32}{x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.5

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$16 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$16 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $16$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{16 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.8

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\frac{32}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{32}{x} - (2 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{32}{x} - 2 x$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 x + \frac{32}{x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x + \frac{32}{x}$ .

$- 2 x + \frac{32}{x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x + \frac{32}{x} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ mit $x$ .

$- 2 x \cdot x + \frac{32}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 2 (x \cdot x) + \frac{32}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{32}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{2} + \frac{32}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{2} + 32 = 0 x$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 32$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 32$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 32$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividiere $- 32$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 5.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 5.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 5.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 5.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 5.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{32}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4, - 4$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{32}{{(4)}^{2}} - 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{32}{16} - 2$

Schritt 9.1.2

Dividiere $32$ durch $16$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 2$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- 4$

Schritt 10

$x = 4$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 16 \ln ({(4)}^{2}) - {(4)}^{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 16 \ln (16) - {(4)}^{2}$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache $16 \ln (16)$ , indem du $16$ in den Logarithmus ziehst.

$f (4) = \ln (16^{16}) - {(4)}^{2}$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $16$ mit $16$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - {(4)}^{2}$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - 1 \cdot 16$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - 16$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (18446744073709600000) - 16$ .

$y = \ln (18446744073709600000) - 16$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{32}{{(- 4)}^{2}} - 2$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$- \frac{32}{16} - 2$

Schritt 13.1.2

Dividiere $32$ durch $16$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 2$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- 4$

Schritt 14

$x = - 4$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 4$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 4$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = 16 \ln ({(- 4)}^{2}) - {(- 4)}^{2}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = 16 \ln (16) - {(- 4)}^{2}$

Schritt 15.2.1.2

Vereinfache $16 \ln (16)$ , indem du $16$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- 4) = \ln (16^{16}) - {(- 4)}^{2}$

Schritt 15.2.1.3

Potenziere $16$ mit $16$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - {(- 4)}^{2}$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - 1 \cdot 16$

Schritt 15.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - 16$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (18446744073709600000) - 16$ .

$y = \ln (18446744073709600000) - 16$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ .

$(4, \ln (18446744073709600000) - 16)$ ist ein lokales Maximum

$(- 4, \ln (18446744073709600000) - 16)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17