Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$- 3 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 3.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 3.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 3.14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Schritt 3.14.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Schritt 3.14.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Schritt 3.15

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 x^{- 2} - 2 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 x^{- 2} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$