Analysis Beispiele

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x) + \tan (x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ um.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.3

Multipliziere $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Schritt 3.5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.3.2

Kombiniere $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.4

Kombiniere $\sec^{2} (x)$ und $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.6

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.5.6.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.6.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.5.6.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$