Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$ als $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3

Da der Exponent $x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$ $\infty$ an.

$\infty$