Analysis Beispiele

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.10

Kombiniere $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.11

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $4$ und $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.13

Faktorisiere $2$ aus $4 y'$ heraus.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Schritt 6

Löse nach $y^{\frac{1}{2}}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Schritt 6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $y^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Ersetze $y^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Schritt 6.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Schritt 6.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Schritt 6.3.3.1.2

Vereinfache.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Schritt 6.3.3.2

Subtrahiere $2 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Schritt 6.3.3.3

Faktorisiere $u$ aus $- y' u - 2 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1

Faktorisiere $u$ aus $- y' u$ heraus.

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Schritt 6.3.3.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u$ heraus.

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Schritt 6.3.3.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u (- y') + u \cdot - 2$ heraus.

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Schritt 6.3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $u (- y' - 2) = - 2 y'$ durch $- y' - 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $u (- y' - 2) = - 2 y'$ durch $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Schritt 6.3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y' - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Schritt 6.3.3.4.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Schritt 6.3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Schritt 6.3.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y'$ heraus.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Schritt 6.3.3.4.3.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Schritt 6.3.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y' - 1 (2)$ heraus.

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Schritt 6.3.3.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.4.3.5.1

Schreibe $- (y' + 2)$ als $- 1 (y' + 2)$ um.

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Schritt 6.3.3.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Schritt 6.3.3.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Schritt 6.3.3.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{2 y'}{y' + 2}$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Schritt 6.3.4

Ersetze $u$ durch $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$