Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\cos (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 12

Mutltipliziere $\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 13

Kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 18

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 18.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 18.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 19.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 20

Vereinfache.

$\frac{\cos (x) - 2 x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 21

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x (- \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 22

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 22.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\cos (x) + 2 x \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 22.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x \sin (x) + \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$