Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Schritt 4

Berechne $\arctan (x)$ bei $t$ und $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Schritt 5.2

Der Grenzwert, wenn $t$ sich $\infty$ nähert, ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $\arctan (0)$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

Schritt 5.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Schritt 5.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2}$

Dezimalform:

$1.57079632 \dots$