Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ als ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.10

Multipliziere.

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Schritt 9.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.10.2

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.12.1

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.12.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.12.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.12.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 9.12.5

Mutltipliziere $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.12.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.12.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.12.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.12.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - x}{1 + x}$ an.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Vereine die Terme

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ mit $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.2

Bringe ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3

Multipliziere ${(1 - x)}^{2}$ mit ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.3.1

Bewege ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$