Analysis Beispiele

$lim_{y \to - \infty} \frac{2 - y}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $y$ im Nenner, was $y = - \sqrt{y^{2}}$ ist.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - \frac{y}{y}}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{y \to - \infty} \frac{2}{y} - 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{y \to - \infty} \frac{2}{y} - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{2 lim_{y \to - \infty} \frac{1}{y} - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{y}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- lim_{y \to - \infty} \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{lim_{y \to - \infty} \frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{lim_{y \to - \infty} \frac{7}{y^{2}} + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 lim_{y \to - \infty} \frac{1}{y^{2}} + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{y^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{0 + 6}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{6}}$

Schritt 6.2.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 6.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 6.2.5.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 6.2.5.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 6.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 6.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 6.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 6.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Dezimalform:

$0.40824829 \dots$