Analysis Beispiele

$y = x^{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\sin (x)})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = \sin (x)$ ist.

$\frac{d}{d y} [x] (\sin (x) x^{\sin (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\sin (x)] (x^{\sin (x)} \ln (x))$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (\sin (x) x^{\sin (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\sin (x)] x^{\sin (x)} \ln (x)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$x' (\sin (x) x^{\sin (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x] x^{\sin (x)} \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x' (\sin (x) x^{\sin (x) - 1}) + \cos (u) \frac{d}{d y} [x] x^{\sin (x)} \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x' (\sin (x) x^{\sin (x) - 1}) + \cos (x) \frac{d}{d y} [x] x^{\sin (x)} \ln (x)$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (\sin (x) x^{\sin (x) - 1}) + \cos (x) x' x^{\sin (x)} \ln (x)$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$x^{\sin (x) - 1} \sin (x) x' + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = x^{\sin (x) - 1} \sin (x) x' + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{\sin (x) - 1} \sin (x) x' + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x) x' = 1$ um.

$x^{\sin (x) - 1} \sin (x) x' + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $x^{\sin (x) - 1} \sin (x) x' + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x) x'$ um.

$x' x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x' x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x' x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $x' x^{\sin (x) - 1} \sin (x)$ heraus.

$x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x)) + x' (x^{\sin (x)}) \cos (x) \ln (x) = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $x' x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)$ heraus.

$x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x)) + x' (x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)) = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x)) + x' (x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x))$ heraus.

$x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)) = 1$ durch $x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)) = 1$ durch $x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{x' (x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x))}{x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)} = \frac{1}{x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{\sin (x) - 1} \sin (x) + x^{\sin (x)} \cos (x) \ln (x)}$