Analysis Beispiele

$\int (2 \sqrt{t} - t - \frac{9}{t^{2}}) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 2 \sqrt{t} - t - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sqrt{t} d t + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt{t} d t + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - \int t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \int \frac{9}{t^{2}} d t$

Schritt 9

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) - (9 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) - (9 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Schritt 10.2

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int {(t^{2})}^{- 1} d t)$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int t^{2 \cdot - 1} d t)$

Schritt 10.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int t^{- 2} d t)$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - 9 \int t^{- 2} d t$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - 9 (- t^{- 1} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{t^{2}}{2} - 9 (- t^{- 1}) + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{t^{2}}{2} + 9 t^{- 1} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} t^{2} + 9 t^{- 1} + C$